Markov Process
Markov Process（马尔可夫过程）是一种随机过程，其核心特性是无后效性（马尔可夫性）：未来状态仅依赖于当前状态，与过去状态无关。
数学定义
\[P(X_{t+1} \mid X_t, X_{t-1}, \dots, X_0) = P(X_{t+1} \mid X_t)\]在扩散模型中的应用
扩散模型的前向加噪过程是一个典型的马尔可夫过程：
\[q(x_t \mid x_{t-1}, x_{t-2}, \dots, x_0) = q(x_t \mid x_{t-1})\]每一步加噪只依赖于上一步的结果，与更早的状态无关。这一性质带来了两个关键好处：
- 计算高效：可以”跳跃”计算任意时间步的状态（无需逐 step 迭代）
- 推导简洁：联合分布可以分解为条件分布的连乘
跳跃式加噪的数学原理
利用马尔可夫性质，我们可以直接从 $x_0$ 计算 $x_t$：
\[x_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon\]其中 $\bar{\alpha}t = \prod{i=1}^t \alpha_i$。